GRAFOS

CONCEPTO

La teoría de grafos (también llamada teoría de las gráficas) estudia las propiedades de los grafos (también llamadas gráficas). Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de pares de vértices, llamados aristas (edges en inglés) que pueden ser orientados o no. 

Típicamente, un grafo se representa mediante una serie de puntos (los vértices) conectados por líneas (las aristas). 



TIPOS


NO DIRIGIDOS 

Son aquellos en los cuales los lados no están orientados (No son flechas). Cada lado se representa entre paréntesis, separando sus vértices por comas, y teniendo en cuenta (Vi,Vj)=(Vj,Vi). 

DIRIGIDOS 

Son aquellos en los cuales los lados están orientados (flechas). Cada lado se representa entre ángulos, separando sus vértices por comas y teniendo en cuenta <Vi ,Vj>!=<Vj ,Vi>. En grafos dirigidos, para cada lado <A,B>, A, el cual es el vértice origen, se conoce como la cola del lado y B, el cual es el vértice destino, se conoce como cabeza del lado. 

VERTICES 

Un vértice o nodo es la unidad fundamental de la que están formados los grafos. Los vértices son tratados como objetos indivisibles y sin propiedades, aunque puedan tener una estructura adicional dependiendo de la aplicación por la cual se usa el grafo; por ejemplo, una red semántica es un grafo en donde los vértices representan conceptos o clases de objetos. 

ARCO 

El arco es la union que se se tiene entre dos vertices, cada arco se representa a traves de un par, donde cada elemento determina uno de los vertices. 

CAMINOS 

Un camino en un grafo es una sucesión finita en la que aparecen alternadamente vértices y aristas de dicho grafo. Otras definiciones básicas son:

Los extremos son los vértices inicial y final del camino.

La longitud de un camino es el numero de aristas que contiene.

Un camino es cerrado si sus extremos coinciden.

Un camino es simple si en la sucesión de vértices no hay ninguno repetido.

Un ciclo es un camino cerrado donde los únicos vértices repetidos son el primero y el ultimo.

Un circuito es un camino cerrado que no repite aristas.

Si en un grafo existe un camino que conecta dos vértices distintos, entonces existe un camino simple con extremos en dichos vértices.

Un grafo es conexo si para cada par de vértices, existe un camino con extremos en dichos vértices.

Tipos de caminos

Camino euleriano:

es un camino o circuito que contiene todas las aristas apareciendo cada una de ellas exactamente una vez. Un grafo que admite dicho circuito se denomina grafo euleriano, y sus vértices o tienen grado par o dos de los vértices tienen grado impar.

Camino hamiltoniano:

es un camino simple que contiene todos los vértices apareciendo cada uno de ellos exactamente una vez. Un ciclo que a su vez es un camino hamiltoniano se denomina ciclo hamiltoniano, y un grafo que contiene un ciclo hamiltoniano se denomina grafo hamiltoniano.

ARBOL

CONCEPTO

Un arbol es un conjunto finito de 0 o mas nodos v1,v2,...,vn tales que:

1- existe un nodo el cual se distingue de los demas, al mismo lo vamos llamar raiz

2- los demas elementos del conjuntos quedan particionados en m>=0 conjuntos disjuntos T1,T2,...,TN los cuales son arboles.

Los elementos T1,T2,...,TN son llamados subarboles. Vemos aqui la naturaleza recursiva de la estructura arbol, puesto que definimos arbol en termino de arboles. 

TIPOSARBOLES BINARIOS

Un árbol binario es una estructura de datos en la cual cada nodo siempre tiene un hijo izquierdo y un hijo derecho. No pueden tener más de dos hijos (de ahí el nombre "binario"). Si algún hijo tiene como referencia a null, es decir que no almacena ningún dato, entonces este es llamado un nodo externo. En el caso contrario el hijo es llamado un nodo interno. Usos comunes de los árboles binarios son los árboles binarios de búsqueda, los montículos binarios y Codificación de Huffman. 

Tipos De Arboles Binarios 
Un árbol binario es un árbol con raíz en el que cada nodo tiene como máximo dos hijos.
Un árbol binario lleno es un árbol en el que cada nodo tiene cero o dos hijos.
Un árbol binario perfecto es un árbol binario lleno en el que todas las hojas (vértices con cero hijos) están a la misma profundidad (distancia desde la raíz, también llamada altura).
A veces un árbol binario perfecto es denominado árbol binario completo. Otros definen un árbol binario completo como un árbol binario lleno en el que todas las hojas están a profundidad n o n-1, para alguna n.Un árbol binario es un árbol en el que ningún nodo puede tener más de dos subárboles. En un árbol binario cada nodo puede tener cero, uno o dos hijos (subárboles). Se conoce el nodo de la izquierda como hijo izquierdo y el nodo de la derecha como hijo derecho. 
ARBOL BINARIO DE BUSQUEDA AUTO-BALANCEABLEUn árbol binario de búsqueda auto-balanceable o equilibrado es un árbol binario de búsqueda que intenta mantener su altura, o el número de niveles de nodos bajo la raíz, tan pequeños como sea posible en todo momento, automáticamente. Esto es importante, ya que muchas operaciones en un árbol de búsqueda binaria tardan un tiempo proporcional a la altura del árbol, y los árboles binarios de búsqueda ordinarios pueden tomar alturas muy grandes en situaciones normales, como cuando las claves son insertadas en orden. Mantener baja la altura se consigue habitualmente realizando transformaciones en el árbol, como la rotación de árboles, en momentos clave. 


RECORRIDOS

PREORDEN

Sea T un arbol ordenado con raız r . Si T consta solo de r , entonces r es el recorrido preorden de T. Sino, suponga que T1, T2, . . . , Tn son los subarboles en r listados de izquierda a derecha en T. El recorrido en preorden inicia visitando r , continua recorriendo T1 en preorden, luego T2, en preorden, y ası sucesivamente hasta recorrer Tn en preorden. 

Procedimiento Preorden ( T: arbol ordenado con raiz)
r = raiz de T
mostrar (r )
Para cada hijo c de r de izquierda a derecha
T(c) = subarbol con c como su raiz
Preorden(T(c))
Fin Para
Fin Procedimiento 
INORDEN 
Sea T un arbol ordenado con raız r . Si T consta solo de r , entonces r es el recorrido en inorden de T. Sino, suponga que T1, T2, . . . , Tn son los subarboles en r listados de izquierda a derecha en T. El recorrido en inorden inicia recorriendo T1 en inorden y continua visitando r , a continuacion recorre T2 en inorden, luego T3, en inorden, y asi sucesivamente hasta recorer Tn en inorden. 
Procedimiento Inorden ( T: arbol ordenado con raiz)
r = raiz de T
Si r es una hoja
mostrar (r )
Sino
l = primer hijo de r de izquierda a derecha
T(l) = subarbol de raiz l
Inorden (T(l))
mostrar (T(l))
Para cada hijo c de r excepto para l y
de izquierda a derecha
T(c) = subarbol de raiz c
Inorden(T(c))
Fin Para
Fin Si
Fin Procedimiento 
POSTORDEN 
Sea T un arbol ordenado con raız r . Si T consta solo de r , entonces r es el recorrido en postorden de T. Sino, suponga que T1, T2, . . . , Tn son los subarboles en r listados de izquierda a derecha en T. El recorrido en postorden inicia recorriendo T1 en postorden, luego recorre T2 en postorden y ası sucesivamente hasta recorrer Tn en postorden y finaliza visitando r . 

Procedimiento Postorden ( T: arbol ordenado con raiz )
r = raiz de T
Para cada hijo c de r de izquierda a derecha
T(c) = subarbol de raiz c
Postorden(T(c))
Fin Para
mostrar (r )
Fin Procedimiento 
ARBOL GENEALOGICO 
BOSQUES 

Un bosque es un conjunto de n ≥ 0 árboles disjuntos. El concepto de bosque esta fuertemente relacionado al de árbol ya que si removemos la raíz de un árbol obtenemos un bosque.